1.) Solusi homogen dari relasi rekurensi bn
+ bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 =
0 , b1 = 1 adalah…
a. bn(h)= A1 (-3)n+
A2 . 2n
b. bn(h) =
(-3)n +
.
2n
c. (a+ 3) (a-
2)
d. b0(h)
= A1 (-3)0 + A2 . 20
Jawab :
bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0
= a2 + a- 6 = 0
= (a+ 3) (a- 2) = 0
a1 = -3 a2 = 2.
Solusi homogen = bn(h)=
A1 a1n+
A2 a2n =>bn(h)= A1 (-3)n+ A2
. 2n
Dengan kondisi batas b0=
0 dan b1= 1 ,maka:
b0(h) =
A1 (-3)0 + A2 . 20 =>
0 = A1 + A2 .
b1(h) =
A1 (-3)1 + A2 . 21 =>
1 = -3 A1 + 2 A2
maka akan diperoleh harga A1 =
(-
) dan A2 =
jawab homogen dari relasi rekurensi
bn+ bn-1 – 6bn-2 = 0 adalah bn(h) =
(-3)n
+
. 2n
2.) Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi
dari :
an + 4 an-1
+ 4 an-2 = 2n .
a. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2)
a1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
.
b. an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
.
c. an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2)
a1n ,
d. an(h) = (A1 nm-1) an(h)
= (A1 n + A2 )
(-2)n .
Jawab :
Relasi rekurensi homogen : an
+ 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah a2 +
4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristik
a1 = a2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya
ganda, maka solusi homogennya berbentuk an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2)
a1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
.
3.) Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif
sebagai berikut :
Untuk semua bilangan bulat k ≥
2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)
Dengan kondisi awal c0 = 1 dan
c1 = 2.
Ditanya : Hitunglah c5 !
Penyelesaian :
Oleh karena barisan didefinisikan
secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih
dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
·
c2 = c1 + 2 c0 + 1
= 2 + 2.1 +
1 = 5
·
c3 = c2 + 3 c1 + 1
= 5 + 3.2 +
1 = 12
·
c4 = c3 + 4 c2 + 1
= 12 + 4.5
+ 1 = 33
·
c5 = c4 + 5 c3 + 1
= 33 + 5.12
+ 1 = 94
Jadi, c5 = 94
a. C5 = 90
b. C5 = 92
c. C5 = 84
d. C5 = 94
4.) Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1
– 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas
b0 = 0 , b1 = 1 .
a. bn(h) =
.3n
+
.2n
b. bn(h) =
(-3)n
+ 2n .
c. bn(h) =
(-3)n
+
.2n
.
d. bn(h) =
(-2)n
+
.3n
Penyelesaian :
Relasi rekurensi tersebut adalah
relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi
rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 +
a - 6 = 0 atau (a+
3) (a - 2) = 0 hingga diperoleh
akar-akar karakteristik a1
= -3 dan a2
= 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya
berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2
a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2
. 2n.
Dengan kondisibatas b0
= 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2
. 20 Þ 0 = A1 +
A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2
. 21 Þ 1 = -3 A1
+ 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh
harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari
relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah
bn(h) =
(-3)n
+
.2n
.
5.) Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi 4 an -
20 an-1 + 17 an-2 – 4 an-3 = 0.
a. an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n
+ A1 . 4n.
b. an(h) = (A2 n - A1 ) (½)n
+ A3 . 4n.
c. an(h) = (A1 n - A2 ) (½)n
+ A3 . 3n.
d. an(h) = (A1 n + A2 ) (½)n
+ A3 . 4n.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya: 4
a3 - 20 a2
+ 17 a - 4 = 0
Akar-akar karakteristiknya: ½
, ½ dan
4
Solusi homogennya berbentuk: an(h)
= (A1 n + A2 )
(½)n + A3 . 4n.
6.)
n -
n-1 =2n2,n
1, dan
0 =
9 ……
a. 5 +
(n) (n+1)(4n+2)
b. 9 +
(n) (n+1)(2n+1)
c. 2 +
(n+2)(n)(n+2n)
d. 9 +
(n)(n+1)(2n+1)
Penyelesaian :
f(n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :
n =
0 +
(i)
=
0 +
2
=
0+ 2
= 9
+
(n) (n+1)(2n+1)
7.) Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 =
1. Selesaikan untuk suku ke-n!
a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2
Penyelesaian dengan iterasi diperoleh
:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 2Pangkat2 Sn-2
= 2pangkat3Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
8.) Berapa banyakkah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100..?
a. 90
b. 9
c. 5
d. 10
Jawab :
Dari tabel di atas, terlihat bahwa
bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100 adalah sebanyak 5 (lima)
buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan
suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah 5.
9.) Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan
tersebut mulai dari f1 sampai dengan fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu
> 150..?
a. 9
b. 10
c. 11
d. 15
Jawab :
Dari tabel di atas juga, dapat
kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari
f1 hingga fn> 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar
231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang
merupakan bilangan Fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga,
jawaban yang benar adalah 10.
10.) Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98
a. an= 7n (2) , n > 1
b. an= 7n (1) , n > 0
c. an= 7n , n > 2
d. an = 7n (2) , n > 0
Penyelesaian :
Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7
(7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 = 49 a0
Sehingga diperoleh a0 = 2.
Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh:
a3 = 7 a2 = 7 (7 pangkat 2 a0)
= 7 pangkat 3 a0 .......... dan seterusnya
Sehingga penyelesaian umum dari
relasi rekurensi di atas adalah an = 7n (2) , n > 0
11.) Jika
diketahui Hanoi Tower memiliki 5 cakram berapakah langkah paling singkat untuk menyelesaikan
permainan tersebut? (Dengan menggunakan rumus (2n – 1) dimana n
adalah banyaknya cakram)…
a. 16 cara
b. 64 cara
c. 32 cara
d. 8 cara
e. semua jawaban salah
Jawab :
5 Cakram = 25
Jadi jawabannya 25 = 32
12.) Jika kita membuat penghitungan hukum Fibonacci pada Java
dengan listing program sebagai berikut ini:
import javax.swing.*;
class deretfibonacci{
public static void main(String[] args) {
int t=0, p=1, hasil=0;
String s =
JOptionPane.showInputDialog("Masukan banyak deret Fibonacci: ");
int x = Integer.parseInt(s);
for (int i=1; i<=x; i++){
t=p;
p=hasil;
System.out.print(hasil+"
");
hasil=t+p;
}
}
}
Lalu dijalankan pada Command
Prompt akan muncul kotak dialog seperti “Masukan banyak deret Fibonacci: ”
masukan angka 12 kemudian klik OK, maka output yang keluar adalah..?
Jawaban:
a. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
b. 1 1 2 3 5 8 34 55 89 233 377
c. 1 1 2 3 5 8 21 34 55 144 233
d. 1 1 2 3 5 8 13 21 89 233 610
e. 1 1 2 3 5 8 55 144 377 610
987
UNIVERSITAS
GUNADARMA DEPOK
TEKNIK
INFORMATIKA ‘12
Tidak ada komentar:
Posting Komentar